Page 9 - Εφαπτομενη
P. 9

Ε φ α π τ ο μ ε ν η                                                                        7

    Στο διπλανο σχημα, εχουμε το γραφημα της συναρτησης f
    με τυπο f(x)=αx +βχ+γ, χ              με α>0, Δ>0.
                        2
    Θα εξετασουμε την παραγωγο της συναρτησης f στη θεση
    χ 0 του πεδιου ορισμου της.

  Για χ     χ 0       (το χ πλησιαζει οριακα το χ 0)
  £ Το σημειο Γ, κινουμενο οριζοντια, πλησιαζει οριακα το Β.
  £ Το σημειο Α, κινουμενο πανω στη καμπυλη, πλησιαζει ορια-
       κα το σημειο Β.
  £ Η ευθεια (ε) πλησιαζει οριακα την ευθεια (εφ), που ειναι η
       “οριακη θεση” της.
  Δηλαδη, οριακα, η ευθεια (εφ) εχει ενα μονο κοινο σημειο με
  τη καμπυλη και συμφωνα με την Ευκλειδεια Γεωμετρια, απο-
  τελει την εφαπτομενη της καμπυλης στο σημειο της Β.                                 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
                                                                                      £ Το γραφημα της συναρτη-

  Το χαρακτηριστικο αυτης της περιπτωσης ειναι οτι η εφα-                                  σης f δεχεται οριζοντια
  πτομενη της C f στο σημειο της Β(χ 0, f(χ 0)) ειναι οριζοντια                            εφαπτομενη σε σημειο της
                                                                                           με τετμημενη χ 0 , αν και
  (εχει κλιση ιση με 0 και ειναι πα ρ αλληλη στον αξονα χ’χ) και                           μονο αν ισχυει f’(χ 0 )=0
  ισχυει f’(χ 0)=0 οποτε η εξισωση της εφαπτομενης γινεται :                               που εχει εξισωση y=f’(χ 0 )
  y-f(χ 0)=f’(χ 0)(x-χ 0)`y-f(χ 0)=0`y=f(χ 0).                                        £ Aν για τη συναρτηση
                                                                                           f:A    ισχυει f’(χ)≠0 για
                                                                                           καθε χ
                                                                                                  Α, τοτε το γραφη-
  Αν υποθεσουμε οτι η συναρτηση f, στο σχημα, εχει τυπο                                    μα της f δεν δεχεται ορι-
  f(x)=x -5x+4, x              που ειναι συνεχης στο χ 0=2,5.                              ζοντια εφαπτομενη σε κα-
           2
                      2
   £   f(2,5)= 2,5 -5× 2,5+4=-2,25                                                         νενα σημειο του
                                                                                      £ Για να εφαπτεται το γρα-
            f(x)-f(2,5)           χ 2  5x+4+2,25
   £    lim                  lim                                                           φημα της συναρτησης f
      x    2,5  x-2,5        x    2,5   x-2,5                                              στον αξονα  χ’χ, σε καποιο
                                 χ -5x+6,25                                                σημειο του με τετμημενη
                                   2
                                                    lim                                    χ 0 , πρεπει
                            x    2,5  x-2,5                                                f’(χ 0 )=0 και f(χ 0 )=0
                                 (χ-2,5)    2
                                                    lim
                            x    2,5  x-2,5
                                                    lim (χ-2,5)  2,5-2,5= 0
                            x    2,5
  Αρα f’(2,5)=0 και η εξισωση της εφαπτομενης γινεται :
  y-f(2,5)=f’(2,5)(x-2,5)`y-f(2,5)=0 `y=f(2,5)`

  y=-2,25

  Δηλαδη η εφαπτομενη της C f στο σημειο της Β(2,5, f(2,5))
  ειναι οριζοντια και παραλληλη στον αξονα χ’χ.










       Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα 2019
   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14