Page 7 - Εφαπτομενη
P. 7

Ε φ α π τ ο μ ε ν η                                                                        5

    Στο σχημα, εχουμε το γραφημα της συναρτησης f.
    Θα εξετασουμε την παραγωγο της συναρτησης f στη θεση
    χ 0 του πεδιου ορισμου της.
    Για χ    χ 0     (το χ πλησιαζει οριακα το χ 0)
    £ Το σημειο Γ, κινουμενο οριζοντια, πλησιαζει οριακα το
         σημειο Β.
    £ Το σημειο Α, κινουμ ε ν ο  πανω  στη καμπυλη, πλησιαζει
         οριακα το σημειο Β.
    £ Η ευθεια (ε) πλησιαζει οριακα την ευθεια (εφ), που ειναι
         η “οριακη θεση” της.
    Δηλαδη, οριακα, η ευθεια (εφ) εχει ενα μονο κοινο σημειο με
    τη καμπυλη και συμφωνα με την Ευκλειδεια Γεωμετρια ,
    αποτελει την εφαπτομενη της καμπυλης στο σημειο της Β.

  ΟΡΙΣΜΟΣ: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ
  Εστω συναρτηση  f με πεδιο ορισμου Α και ενα σημειο
  Μ  ( x 0 , f(x 0), x 0    A της γραφικης της παραστασης.
                                  f(x)-f(x )
  Αν υπαρχει το οριο  lim                    0  , και ειναι ενας πραγματι-
                            x   x 0  x-x
                                          0
  κος αριθμος λ, τοτε οριζουμε ε φ α π τ ο μ ε ν η  της γραφι-
  κης παραστασης της συναρτησης f στο σημειο της Μ, την
  ευθεια ε που διερχεται απο το Μ και εχει συντελεστη διευ-
  θυνσης λ.

  ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
  £ Η παραγωγος της παραγωγισιμης συναρτησης f στο χ 0,                               Σ χ ο λ ι ο
       εκφραζει το συντελεστη δ ι ε υθυνσης (κλιση) της εφαπτο-                       Η εφαπτομενη και το γραφημα
       μενης (ε) της C f στο σημειο Μ(χ 0, f(χ 0)).                                   της συναρτησης f εχουν
       Ετσι                                                                           τουλαχιστον ενα
       £ εφφ=λ=f’(χ 0)                                                                κοινο σημειο (σημειο επαφης),
       £ ε ξ ισωση της εφαπτομενης:   y-f( χ            0) =f’(χ 0)(x-χ 0)            που σημαινει οτι μπορει να ε-
       £ η κλιση της εφαπτομενης ε της C f στο σημειο                                 χουν και περισσοτερα του ε-
            Μ(χ 0,  f(χ 0)), λεγεται και                                              νος.
            £ κ λ ιση της C f στο Μ
            £ κ λ ιση της f στο χ 0

  £ Στη περιπτωση που το οριο
           f(x)-f(x )
        lim            0     ισουται με +     ή -
      x   x 0  x-x
                    0
       α ν αλογα
            f(x)-f(x )                     f(x)-f(x )
        lim            0  =+     και  lim              0  =-    ή
      x   x 0  x-x   0               x   x 0  x-x   0
            f(x)-f(x )                     f(x)-f(x )
        lim            0  =-     και  lim              0  =+
      x   x 0  x-x   0               x   x 0  x-x   0
       η συνεχης συναρτηση f δεν ειναι παραγωγισιμη, αλλα εχει
       εφαπτομενη την κατακορυφη ευθεια  χ=χ 0.
       Στο σχημα εχουμε: Για χ           χ 0     (το χ πλησιαζει οριακα το χ 0)
       £ Το σημειο Γ, κινουμενο οριζοντια, πλησιαζει οριακα το
            σημειο Β.


       Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα 2019
   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12