Page 6 - Εφαπτομενη
P. 6

Ε φ α π τ ο μ ε ν η
           4



   (*)                                £ Η ευθεια x = 2 τεμνει την
      y = x + 1                            £ y = x + 1 στο σημειο Α(2, 3)
   £                                       £ y = - x + 1 στο σημειο Β(2, - 1).
      y- 1 = λ(x- 2)
       y- 1 = x                            Το ΑΒ εχει μεσο το σημειο με συντεταγμενες
                                           2+2 3-1
       y- 1 = λ(y- 1- 2)                    (    ,     )=(2,1), που ειναι οι συντεταγμενες του ση-
                                             2
                                                   2
           x = y- 1                        μειου Μ.
       y(λ- 1) = 3λ- 1
           2λ                              Αρα, η κατακορυφη x = 2  ειναι μια απο τις ζητουμενες
       x =                                 ευθειες.
            λ- 1   , λ  1             £ Η ευθεια  y-1= λ(x-2), λ               τεμνει τις y=x+1 και y=-x+1
          3λ- 1
       y =
           λ- 1                            στα σημεια Α και Β αντιστοιχως, που οι συντεταγμενες
       y = -x + 1                          τους ειναι οι λυσεις των συστηματων (*):
   £                                       Ετσι το Μ(2, 1) θα ειναι μεσο του ΑΒ, αν και μονο αν
       y- 1 = λ(x- 2)
                                                                                     2
                                                                        2
       x = 1- y                           1 2λ       2λ             2λ +2λ+2λ -2λ
                                                  +       = 2                                = 4             0=-1
       y- 1 = λ(1- y- 2)                    2 λ-1   λ+1                      λ -1                              και
                                                                               2
                                                                                          2
                                                                        2
       x = 1- y                           1 3λ-1      1-λ           3λ +3λ-λ-1-λ +2λ-1
                                                    +       = 1                                      = 2     4λ= 0
       y(λ + 1) = 1- λ                    2 λ-1       λ+1                        λ -1
                                                                                   2
           2λ
       x =                                Οι εξισωσεις ομως αυτες δεν συναληθευουν για καμια τιμη
           λ + 1  , λ  -1                 του λ, αφου η πρωτη ειναι αδυνατη για καθε  λ                   .
          1- λ
       y =                            Ετσι η μονη λυση του προβληματος μας, ειναι η κατακορυφη
          λ + 1
                                      ευθεια  x=2

                                      ... θ υ μ α μ α ι
                                      Π α ρ α γ ω γ ο ς  σ ε   σ η μ ε ι ο  x 0
                                      Εστω συναρτηση  f με πεδιο ορισμου Α και σημειο   x 0                  A.
                                      Η f λεγεται  π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η  στο x 0, αν υπαρχει το οριο
                                           f(x)-f(x )
                                                       0
                                       lim
                                      x   x 0  x-x       , και ειναι πραγματικος αριθμος.
                                                    0
                                      Το οριο αυτο λεγεται  π α ρ α γ ω γ ο ς  της f στο x 0 και
                                      συμβολιζεται  f’ ( x 0).
                                      Ετσι: f’ ( x 0) =  lim  f(x)-f(x )
                                                                         0
                                                        x   x 0  x-x  0
                                      Σ χ ο λ ι ο
                                                          f(x)-f(x )
                                      £ Η ποσοτητα                    0  , στον ορισμο, παραπεμπει σε κλιση
                                                              x-x
                                                                   0
                                           της ευθειας που οριζεται απο τα σημεια Α(x, f(x)) και
                                           Β  ( x 0, f(x 0))
                                                                           f(x)-f(x )
                                      £ To lim πριν απ’το κλασμα                       0   παρα π εμπει σε στιγ-
                                             x   x 0                           x-x  0
                                           μιαια μεταβολη (οσο το χ πλησιαζει το x 0), οποτε η παρα-
                                           γωγος περιγραφει την καλυτερη γραμμικη προσεγγιση
                                           της συναρτησης κοντα στο x 0.
                                      £ Η υπαρξη του οριου εξασφαλιζει οτι το προτυπο (συναρ-
                                           τηση) εχει την “ικανοτητα” να πα ρ αγει, δηλαδη εξασφα-
                                           λιζει την υπαρξη της παραγωγου, ενω η τιμη της στη θε-
                                           ση x 0 ειναι πραγματικος αριθμος .
                                           Σε αντιθετη περιπτωση, αν δεν υπαρχει το οριο η αν ειναι
                                           ισο με +   -   , τοτε η συναρτηση δεν ειναι  παραγωγισιμη

                                          Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα 2019
   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11