Page 10 - Εφαπτομενη
P. 10

Ε φ α π τ ο μ ε ν η
           8



  ... ακομη                            ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ                   ΣΤΗ  ΘΕΣΗ  Χ 0
  Να βρειτε την εφαπτομενη ...        Δ ο σ μ ε ν α
  με τετμημενη x 0                    £ Ο τυπος της συναρτησης f η σχεση της f(x) απο την
  β) r(x)=ημχ × x ,  x 0  = 0              οποια μπορουμε να προσδιορισουμε το f(x 0).
  γ) t(x)=    x-3, x 0  = 3           £ σημειο x 0 , που μπορει να ειναι
  β)
                                           £ σημειο της γραφικης παραστασης της f

                                           £ σημειο αλλαγης τυπου (πολλαπ λ ος τυπος της f)
                                           £ σημειο μηδενισμου α π ολυτου
                                           £ ακρο κλειστου διαστηματος
                                      Α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η
                                      £ Β  ρ ισκουμε τη τιμη  f(x 0)
                                           £ αμεσα, αν δινεται ο τυπος της συναρτησης
                                           £ εμμεσα, αν δινεται σχεση που περιεχει την f(x)

                                      £ Β  ρ ισκουμε τη παρασταση           f(x)-f(x )      (προαιρετικα)
                                                                                        0
                                                                               x-x   0
  Ειναι A r =[0, +  )                 £ Β  ρ ισκουμε το οριο  lim       f(x)-f(x )
                                                                                   0
   £   r(0)= ημ 0× 0 = 0  (2)                                     x   x 0  x-x  0
               2
         r(x)-r(0)  (2)
   £    lim         =                      £ αν υπαρχει και ειναι πραγματικος αριθμος λ, η f ειναι
      x   0→  x-0
          ημχ× χ-0        ημχ                   παραγωγισιμη στο x 0 η υπαρχει η παραγωγος στο x 0 και
            lim       lim     × x=
      x   0→  x       x   0→  χ                 ειναι ιση με f’ (x 0) = λ .
           1× 0  0
  Οποτε η r ειναι παραγωγισιμη             £ αν δεν υπαρχει η ισουται με ±             , η f δεν ειναι παραγω-
  στο χ 0 =0 με  r'(0)=0                        γισιμη στο  x 0 η δεν υπαρχει η παραγωγος στο x 0 .
   χ  0  0                            £ Εφαπτομενη σε σημειο της C f με τετμημενη το x 0
   r(χ )=0     (ε): y-0=0×(x-0)             Με γνωστα τα :  x 0 ,   f(x 0) , f'(x 0) η εξισωση της εφαπτο-
      0
   r'(χ )=0    (ε): y= 0     (x'x)                   μενης ειναι    x - f(x 0) = f'(x 0) × (x - x 0 )
       0
  γ)                                  ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

                                      Να βρειτε την εφαπτομενη του γραφηματος τη ς  συναρτη-
                                      ση ς  f(x)=χ+συν2χ στο σημειο του με τετμημενη x 0 = 0
                                      Είναι A f=

                                      £   f(0)= 0+συν0= 1   (1)
                                          lim f(x)-f(x )   =
                                                         0
                                      £  x   0→  x-x
                                                      0
                                             x+συν2x-f(0)         (1)
                                             lim                  =
                                          x   0→     x-0
                                              lim x+συν2x-1   =
                                          x   0→     x
                                                                              2
   £   Α =[3,+ )                              lim 1- 1-συν2x    (*) συν2x = 1 - 2ημ x
                                                                       =
       t
   £   t(3)= 3-3 = 0  (3)                 x   0→       x
         t(x)-t(3)  (3)    x-3-0                  2ημ x                      ημx
                                                        2
   £    lim         =    lim                                 = lim 1-2ημx×         = 1-2× 0× 1= 1
      x   3→  x-3      x   3→  x-3            lim 1-  x       x   0→           x
                                          x   0→
                                              = lim  1  = +
                      x   3→  x-3     Οποτε η f ειναι παραγωγισιμη στο χ 0=0
  Η t ειναι παραγωγισιμη στο          χ     0
                                        0
  χ 0 =3 και οριζουμε σαν εφα-        f(χ )= 1       (ε): y-1= 1×(x-0)       (ε): y= x+1
  πτομενη της  C  στο σημειο               0
                   t
  της με τετμημενη  x =3, την         f'(χ )= 1
                                           0
                         0
      (ε): x= 3
                                          Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα 2019
   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15